Boolesche Algebra - Versionsgeschichte

Kristin am 9. November 2016 um 13:57 Uhr

2016-11-09T13:57:08Z

Kristin am 9. November 2016 um 13:37 Uhr

2016-11-09T13:37:18Z

Kristin am 9. November 2016 um 13:26 Uhr

2016-11-09T13:26:38Z

Kristin am 27. Oktober 2016 um 11:40 Uhr

2016-10-27T11:40:08Z

Hauer: /* Disjunktion (OR) */

2016-09-07T19:35:53Z

‎Disjunktion (OR)

Hauer: /* Disjunktion (OR) */

2016-09-07T19:35:45Z

‎Disjunktion (OR)

Hauer: /* Disjunktion (OR) */

2016-09-07T19:35:08Z

‎Disjunktion (OR)

Kristin: /* De Morgansche Gesetze */

2016-09-07T13:43:49Z

‎De Morgansche Gesetze

Solveig: /* De Morgansche Gesetze */

2016-09-04T15:35:27Z

‎De Morgansche Gesetze

Kristin am 29. August 2016 um 11:31 Uhr

2016-08-29T11:31:28Z

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 Eine Implikation wird im Deutschen meistens durch "'''wenn''' ''A'', '''dann''' ''B''" ausgedrückt. Es handelt sich hierbei um eine einfache Folgerung. Aus einer falschen Ausgangsaussage '''A''' lässt sich alles folgern, daher kann die Gesamtaussage nicht falsch werden.
 {| class = "wikitable" width=50% align="center"
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 | ''true'' ||''true'' || ''true''
 |}
 ===Äquivalenz (XNOR)===
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 Die Äquivalenz wird im Deutschen meistens durch "'''genau dann''' ''A'', '''wenn''' ''B''" ausgedrückt. "Genau" heißt immer und nur unter dieser Bedingung. '''A''' gilt genau dann, wenn '''B''' gilt. '''A''' und '''B''' sind äquivalent, also austauschbar. Das heißt die vorherige Aussage gilt auch anders herum: '''B''' gilt genau dann, wenn '''A''' gilt.
 {| class = "wikitable" width=50% align="center"
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 | ''true'' ||''true'' || ''true''
 |}
 ==Peano-Axiome (erweitertes Wissen)==
 ===Kommutativgesetze===

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 | ''true'' ||''true'' || ''true''
 |}
 ===Negation (NOT)===
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 Die '''Kontravalenz''' ist eine erweiterte logische Verknüpfung in der Aussagenlogik. Die Kontravalenz zweier Aussagen ''A'' und ''B'' ist genau dann wahr, wenn '''entweder''' ''A'' '''oder''' ''B'', aber nicht beide wahr sind. Das mathematische Symbol ist '''⊕'''. In [[Java]] wird das '''XOR''' durch '''^''' repräsentiert.
 {| class = "wikitable" width=50% align="center"
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 | ''true'' ||''true'' || ''false''
 |}
 ===Implikation===

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 Die '''Disjunktion''' ist eine der grundlegenden logischen Verknüpfungen der Aussagenlogik. Die Disjunktion zweier Aussagen ''A'' und ''B'' ist genau dann wahr, wenn mindestens eine der Aussagen ''A'' '''oder''' ''B'' wahr ist. Das mathematische Symbol ist '''&or;'''. In [[Java]] wird das '''OR''' durch '''||''' repräsentiert.
+[[Datei:venn_or.png|220x160px|right]]
 {| class = "wikitable" width=50% align="center"
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 |}
 ===Negation (NOT)===

← Nächstältere Version		Version vom 27. Oktober 2016, 11:40 Uhr
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	Die '''Disjunktion''' ist eine der grundlegenden logischen Verknüpfungen der Aussagenlogik. Die Disjunktion zweier Aussagen ''A'' und ''B'' ist genau dann wahr, wenn mindestens eine der Aussagen ''A'' '''oder''' ''B'' wahr ist. Das mathematische Symbol ist '''&or;'''. In [[Java]] wird das '''OR''' durch '''\|\|''' repräsentiert.		Die '''Disjunktion''' ist eine der grundlegenden logischen Verknüpfungen der Aussagenlogik. Die Disjunktion zweier Aussagen ''A'' und ''B'' ist genau dann wahr, wenn mindestens eine der Aussagen ''A'' '''oder''' ''B'' wahr ist. Das mathematische Symbol ist '''&or;'''. In [[Java]] wird das '''OR''' durch '''\|\|''' repräsentiert.

−	~~[[Datei:venn_or.png\|right]]~~

	{\| class = "wikitable" width=50% align="center"		{\| class = "wikitable" width=50% align="center"

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 Die '''Disjunktion''' ist eine der grundlegenden logischen Verknüpfungen der Aussagenlogik. Die Disjunktion zweier Aussagen ''A'' und ''B'' ist genau dann wahr, wenn mindestens eine der Aussagen ''A'' '''oder''' ''B'' wahr ist. Das mathematische Symbol ist '''&or;'''. In [[Java]] wird das '''OR''' durch '''||''' repräsentiert.
-[[Datei:venn_or.png]]
+[[Datei:venn_or.png|right]]
 {| class = "wikitable" width=50% align="center"

← Nächstältere Version		Version vom 7. September 2016, 19:35 Uhr
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	Die '''Disjunktion''' ist eine der grundlegenden logischen Verknüpfungen der Aussagenlogik. Die Disjunktion zweier Aussagen ''A'' und ''B'' ist genau dann wahr, wenn mindestens eine der Aussagen ''A'' '''oder''' ''B'' wahr ist. Das mathematische Symbol ist '''&or;'''. In [[Java]] wird das '''OR''' durch '''\|\|''' repräsentiert.		Die '''Disjunktion''' ist eine der grundlegenden logischen Verknüpfungen der Aussagenlogik. Die Disjunktion zweier Aussagen ''A'' und ''B'' ist genau dann wahr, wenn mindestens eine der Aussagen ''A'' '''oder''' ''B'' wahr ist. Das mathematische Symbol ist '''&or;'''. In [[Java]] wird das '''OR''' durch '''\|\|''' repräsentiert.
		+
		+	[[Datei:OR_VENN.jpg]]

	{\| class = "wikitable" width=50% align="center"		{\| class = "wikitable" width=50% align="center"

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 (8') &not;(''A'' &or; ''B'') &equiv; &not;''A'' &and; &not;''B''
-Alltagsbeispiel:
+Alltagsbeispiele:
-Peter trinkt Tee nur mit Zitronensaft und Zucker.
+(8) Peter hat sich einen Tee zubereitet, in dem nicht Zitronensaft und Zucker enthalten sind.
-Beschreibe die Boolesche Variable '''A''' den Zustand, dass Zucker im Tee ist und '''B''' den Zustand, dass sich Zitronensaft im Tee befindet. Dann lautet die Antwort auf die Frage, ob Peter Tee mit Zucker und Zitronensaft trinken wird mit Hilfe der Variablen '''A''' = '''true''', '''B''' = '''true''' (denn sowohl Zitronensaft als auch Zucker sind im Tee):
+Beschreibe die Boolesche Variable '''A''' den Zustand, dass Zucker im Tee ist und '''B''' den Zustand, dass sich Zitronensaft im Tee befindet. Dann lautet die Antwort auf die Frage, ob Peters Tee Zucker und Zitronensaft (beides auf einmal) beinhaltet (also '''A''' = '''true''' und '''B''' = '''true''':
-&not;(''A'' &and; ''B'') = &not;(''true'' &and; ''true'') = &not;''true'' =''false'' (Peter trinkt den Tee nicht)
+&not;(''A'' &and; ''B'') = &not;(''true'' &and; ''true'') = &not;''true'' =''false''.  In Peters Tee ist kein Zitronensaft und Zucker.
-und diese ist offensichtlich die gleiche Antwort wie auf die Frage, ob Peter Tee trinken würde, wenn kein Zitronensaft oder kein Zucker im Tee wäre (also wenigstens eine der gewünschten Zutaten fehlt)
+Diese Aussage ist äquivalent zu der Aussage "In Peters Tee ist kein Zitronensaft oder kein Zucker" (also mindestens eins von beiden ist nicht enthalten). Das heißt bei gleicher Belegung der Variablen erhält man das gleiche Ergebnis:
 &not;''A'' &or; &not;''B'' = &not;''true'' &or; &not;''true'' = ''false'' &or; ''false'' = false.
-&not;(''A'' &or; ''B'') =&not;(''true'' &or; ''false'') = &not;''true'' = ''false'' (es ist also falsch, dass Petra den Kaffee nicht trinkt)
+(8') Petras Kaffee enthält nicht Milch oder Zucker. Die Variable '''A''' beschreibe den Zustand, dass der Kaffee Milch enthält und '''B''', dass Zucker enthalten ist. Die Antwort auf die Frage, ob der Kaffee Milch aber keinen Zucker enthält (also '''A''' = '''true''' und '''B''' = '''false''') lautet dementsprechend:
-und das gleiche Ergebnis ergibt sich für die Variante ohne Milch aber mit Zucker
+&not;(''A'' &or; ''B'') =&not;(''true'' &or; ''false'') = &not;''true'' = ''false''. In Petras Kaffee ist weder Milch noch Zucker.
 &not;''A'' &and; &not;''B'' = &not;''true'' &and; &not;''false'' = ''false'' &and; ''true'' = ''false''.

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 Alltagsbeispiel:
-Peter trinkt Tee nur mit Zitronensaft und Zucker. Dann stimmen die Aussagen:
+Peter trinkt Tee nur mit Zitronensaft und Zucker.
-"Wenn Zitronensaft und Zucker im Tee sind, wird Peter ihn trinken " und
+Beschreibe die Boolesche Variable '''A''' den Zustand, dass Zucker im Tee ist und '''B''' den Zustand, dass sich Zitronensaft im Tee befindet. Dann lautet die Antwort auf die Frage, ob Peter Tee mit Zucker und Zitronensaft trinken wird mit Hilfe der Variablen '''A''' = '''true''', '''B''' = '''true''' (denn sowohl Zitronensaft als auch Zucker sind im Tee):
-"Sind weder Zitronensaft noch Zucker im Tee, so trinkt Peter ihn nicht" überein.
 ===Komplementärgesetze===

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-Die '''boolesche Algebra''' ist eine algebraische Struktur und beschreibt die Operationen '''UND''', '''ODER''' und '''NICHT''', die auf logische Aussagen angewendet werden können. Die Kenntniss dieser Strucktur ist hilfreich für den Umgang mit dem Datentyp [[boolean]].
+Die '''boolesche Algebra''' ist eine algebraische Struktur und beschreibt die Operationen '''UND''', '''ODER''' und '''NICHT''', die auf logische Aussagen angewendet werden können. Die Kenntnis dieser Struktur ist hilfreich für den Umgang mit dem [[Datentyp]] [[boolean]].
 ==Die booleschen Operatoren==
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 (1') ''A'' &or; ''B'' &equiv; ''B'' &or; ''A''
-====Erläuterung====
+Das Vertauschen der Argumente ''A'' und ''B'' ist hier möglich, ohne dass sich das Ergebnis der Operation ändert.
-−
 Vertauschen der Argumente ''A'' und ''B'', ohne dass sich das Ergebnis der Operation ändert.
 ===Assoziativgesetze===
@@ Zeile 126: / Zeile 124: @@
 (2') (''A'' &or; ''B'') &or; ''C'' &equiv; ''A'' &or; (''B'' &or; ''C'')
 Die Klammerung der oben durchgeführten Operationen hat keinen Einfluss auf das Ergebnis.
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 (3') ''A'' &or; ''A'' &equiv; ''A''
-====Erläuterung====
+Die Eigenschaften des Arguments ''A'' bleiben bestehen, auch wenn dieses mit sich selbst verknüpft wird.
-Die Eigenschaften des Arguments ''A'' bleiben, auch wenn dieses mit sich selbst verknüft wird, bestehen.
+===Distributivgesetze===
 (4) ''A'' &and; (''B'' &or; ''C'') &equiv; (''A'' &and; ''B'') &or; (''A'' &and; ''C'')
 (4') ''A'' &or; (''B'' &and; ''C'') &equiv; (''A'' &or; ''B'') &and; (''A'' &or; ''C'')
-====Erläuterung====
+Auswirkung des Auflösens von Klammern um Verknüpfungen von Operationen; ähnlich dem "Ausmultiplizieren" in der Schulmathematik.
-−
-Auswirkung des Aufösens von Klammern um Verknüfungen von Operationen: ähnlich dem "Ausmultiplizieren" in der Schulmathematik.
 ===Neutralitätsgesetze===
@@ Zeile 154: / Zeile 148: @@
 (5') ''A'' &or; ''false'' &equiv; ''A''
-====Erläuterung====
+Der Wert des Argumentes ''A'' wird durch die oben ausgeführten Operationen nicht verändert.
-−
-Der Wert des Argument ''A'' wird durch die oben ausgeführten Operationen nicht verändert.
 ===Extremalgesetze===
@@ Zeile 163: / Zeile 155: @@
 (6') ''A'' &or; ''true'' &equiv; ''true''
 Das Ergebnis der oben beschriebenen Operationen ist unabhängig vom Wert des Arguments ''A''.
@@ Zeile 172: / Zeile 162: @@
 (7) &not;(&not;''A'') &equiv; ''A''
-====Erläuterung====
+"Doppelte Verneinung": Der Wert von ''A'' wird durch zweimaliges Ausführen des &not; -Operators nicht beeinflusst.
-"Doppelte Verneinung": der Wert von ''A'' wird durch zweimaliges Ausführen des &not; -Operators nicht beeinflusst.
 ===De Morgansche Gesetze===
 (8) &not;(''A'' &and; ''B'') &equiv; &not;''A'' &or; &not;''B''
 (8') &not;(''A'' &or; ''B'') &equiv; &not;''A'' &and; &not;''B''
-====Ein Beispiel zur Anwendung aus dem Alltag====
+Alltagsbeispiel:
-Peter trinkt Tee nur mit Zirtonensaft und Zucker. Dann stimmen die Aussagen:
 "Wenn Zitronensaft und Zucker im Tee sind, wird Peter ihn trinken " und
 "Sind weder Zitronensaft noch Zucker im Tee, so trinkt Peter ihn nicht" überein.
 ===Komplementärgesetze===
 (9) ''A'' &and; &not;''A'' &equiv; ''false''
 (9') ''A'' &or; &not;''A'' &equiv; ''true''
-====Erläuterung und Beispiel====
+Es können nicht gleichzeitig ''A'' und die Negation von ''A'' gelten: Beispielsweise kann der Himmel nicht gleichzeitig blau und nicht-blau sein (9).
-Es können nicht gleichzeitig ''A'' und die Negation von ''A'' gelten: Beispielsweise kann der Himmel nicht gleichzeitig blau und nicht-blau sein.
+===Dualitätsgesetze===
-Allerdings ist der Himmel entweder blau oder nicht-blau gefärbt. Dieses Beispiel illustriert das Gesetz (9').
 (10) &not;false &equiv; true
 (10') &not;true &equiv; false
 Der Wert '''true''' ist das Komplement zu '''false'''. Ist eine Aussage nicht-wahr, so ist sie falsch. Umgekehrt gilt für eine nicht-falsche Aussage, dass sie wahr sein muss.