Dezimal- und Binärsystem - Versionsgeschichte

Hauer am 24. Oktober 2017 um 09:42 Uhr

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Kristin am 20. Juli 2017 um 17:35 Uhr

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Kristin am 11. Januar 2017 um 16:03 Uhr

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Kristin am 26. Juli 2016 um 11:08 Uhr

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Kristin: /* Ziffern und Werte */

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‎Ziffern und Werte

Kristin am 23. März 2016 um 21:11 Uhr

2016-03-23T21:11:24Z

Kristin: /* Ziffern und Werte */

2016-02-22T20:12:54Z

‎Ziffern und Werte

Kristin am 22. Februar 2016 um 20:11 Uhr

2016-02-22T20:11:21Z

Marius am 13. November 2015 um 11:41 Uhr

2015-11-13T11:41:37Z

Marius: /* Umrechnung */

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‎Umrechnung

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−	'''Zahlensysteme''' sind Schemata zur Repräsentation von Zahlen. ~~Diese~~ Artikel beschäftigt sich mit der Umrechnung von natürlichen Zahlen zwischen dem '''Dezimal- und Binärsystem'''.	+	'''Zahlensysteme''' sind Schemata zur Repräsentation von Zahlen. Dieser Artikel beschäftigt sich mit der Umrechnung von natürlichen Zahlen zwischen dem '''Dezimal- und Binärsystem'''.

	Zur Darstellung von ganzen Zahlen: siehe [[Zweierkomplement]].		Zur Darstellung von ganzen Zahlen: siehe [[Zweierkomplement]].

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 '''Zahlensysteme''' sind Schemata zur Repräsentation von Zahlen. Diese Artikel beschäftigt sich mit der Umrechnung von natürlichen Zahlen zwischen dem '''Dezimal- und Binärsystem'''.
-Zur Darstellung von ganzen Zahlen, siehe [[Zweierkomplement]].
+Zur Darstellung von ganzen Zahlen: siehe [[Zweierkomplement]].
 == Zahlensysteme ==

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-Zahlensysteme sind Schemata zur Repräsentation von Zahlen. Dieses Kapitel beschäftigt sich mit der Umrechnung zwischen dem '''Dezimal- und Binärsystem'''.
+'''Zahlensysteme''' sind Schemata zur Repräsentation von Zahlen. Diese Artikel beschäftigt sich mit der Umrechnung von natürlichen Zahlen zwischen dem '''Dezimal- und Binärsystem'''.
-Zur Darstellung mittels Zweierkomplemente siehe: [[Zweierkomplement]].
+Zur Darstellung von ganzen Zahlen, siehe [[Zweierkomplement]].
-== Motivation ==
+== Zahlensysteme ==
 Eine "Zehn" besitzt sowohl im Dezimal-, Binär-, Oktal-, [[Hexadezimalzahlen|Hexadezimal]]- oder römischen<ref>Das Zahlensystem der Römer hat jedoch diverse Eigenschaften, die das intuitive Rechnen kaum möglich machen, weswegen wir dies im weiteren außen vor lassen. '''Kaum''' eine Aussage, die hier getroffen wurde, lässt sich auf dieses Zahlensystem übertragen.</ref> System den gleichen Wert, wird jedoch unterschiedlich repräsentiert. Diese sind entsprechend "10", "1010", "12", "A" oder "X". Andere Zahlen besitzen in einem Zahlensystem hingegen keine eindeutige Repräsentation, so z.B. die Zahl "ein Halb", die sich als Bruch mit "1/2 , 2/4, 100/200, ..." repräsentiert lässt. Oder die Zahl "ein Drittel", die als Dezimalzahl mit Nachkommastellen gar keine exakte Repräsentation haben kann (0.33333...). Damit Sie ein Verständnis entwickeln können, wie Rechner mit Zahlen umgehen und wo bei dieser Repräsentation Probleme entstehen können, beschäftigen Sie sich die ersten Wochen der Veranstaltung mit dem '''Binärsystem'''.

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−	Zahlensysteme sind Schemata zur Repräsentation von Zahlen. Dieses Kapitel beschäftigt sich mit der Umrechnung zwischen dem Dezimal- und Binärsystem.	+	Zahlensysteme sind Schemata zur Repräsentation von Zahlen. Dieses Kapitel beschäftigt sich mit der Umrechnung zwischen dem '''Dezimal- und Binärsystem'''.

	Zur Darstellung mittels Zweierkomplemente siehe: [[Zweierkomplement]].		Zur Darstellung mittels Zweierkomplemente siehe: [[Zweierkomplement]].

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	== Ziffern und Werte ==		== Ziffern und Werte ==
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		+	===Erklärung===

	Genau wie Zahlen im Dezimalsystem besitzen die Ziffern einer Zahl im Binärsystem einen Wert und eine Position innerhalb dieser. Die Position oder '''Stelligkeit''' einer Ziffer gibt den '''Faktor''' an, mit dem die Ziffer multipliziert wird, um ihren Wert in der Zahl zu repräsentieren. Die Ziffern im Dezimalsystem haben den Wert "0" bis "9", während im Binärsystem nur die Ziffern "0" und "1" existieren. Der Faktor der Stelligkeit einer Ziffer ist in jedem Zahlensystem aus ihrer Position zu berechnen: Die erste Ziffer (ganz rechts) einer Zahl hat den Faktor b^0, wobei b die Anzahl der verschiedenen Ziffernwerte im Zahlensystem repräsentiert und '''Basis''' genannt wird. Die Zweite Ziffer hat den Faktor b^1, die dritte b^2, usw. Für das Binärsystem ist die Basis '''2''', womit die 2er-Potenzen relevant werden.		Genau wie Zahlen im Dezimalsystem besitzen die Ziffern einer Zahl im Binärsystem einen Wert und eine Position innerhalb dieser. Die Position oder '''Stelligkeit''' einer Ziffer gibt den '''Faktor''' an, mit dem die Ziffer multipliziert wird, um ihren Wert in der Zahl zu repräsentieren. Die Ziffern im Dezimalsystem haben den Wert "0" bis "9", während im Binärsystem nur die Ziffern "0" und "1" existieren. Der Faktor der Stelligkeit einer Ziffer ist in jedem Zahlensystem aus ihrer Position zu berechnen: Die erste Ziffer (ganz rechts) einer Zahl hat den Faktor b^0, wobei b die Anzahl der verschiedenen Ziffernwerte im Zahlensystem repräsentiert und '''Basis''' genannt wird. Die Zweite Ziffer hat den Faktor b^1, die dritte b^2, usw. Für das Binärsystem ist die Basis '''2''', womit die 2er-Potenzen relevant werden.

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	Zahlensysteme sind Schemata zur Repräsentation von Zahlen. Dieses Kapitel beschäftigt sich mit der Umrechnung zwischen dem Dezimal- und Binärsystem.		Zahlensysteme sind Schemata zur Repräsentation von Zahlen. Dieses Kapitel beschäftigt sich mit der Umrechnung zwischen dem Dezimal- und Binärsystem.
		+
		+	Zur Darstellung mittels Zweierkomplemente siehe: [[Zweierkomplement]].

	== Motivation ==		== Motivation ==

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 == Ziffern und Werte ==
-Genau wie Zahlen im Dezimalsystem besitzen die Ziffern einer Zahl im Binärsystem einen Wert und eine Position innerhalb dieser. Die '''Position''', oder Stelligkeit einer Ziffer gibt den '''Faktor''' an, mit dem die Ziffer multipliziert wird, um ihren Wert in der Zahl zu repräsentieren. Die Ziffern im Dezimalsystem haben den Wert "0" bis "9", während im Binärsystem nur die Ziffern "0" und "1" existieren. Der Faktor der Stelligkeit einer Ziffer ist in jedem Zahlensystem aus ihrer Position zu berechnen: Die erste Ziffer (ganz rechts) einer Zahl hat den Faktor b^0, wobei b die Anzahl der verschiedenen Ziffernwerte im Zahlensystem repräsentiert und '''Basis''' genannt wird. Die Zweite Ziffer hat den Faktor b^1, die dritte b^2, usw. Für das Binärsystem ist die Basis '''2''', womit die 2er-Potenzen relevant werden.
+Genau wie Zahlen im Dezimalsystem besitzen die Ziffern einer Zahl im Binärsystem einen Wert und eine Position innerhalb dieser. Die Position oder '''Stelligkeit''' einer Ziffer gibt den '''Faktor''' an, mit dem die Ziffer multipliziert wird, um ihren Wert in der Zahl zu repräsentieren. Die Ziffern im Dezimalsystem haben den Wert "0" bis "9", während im Binärsystem nur die Ziffern "0" und "1" existieren. Der Faktor der Stelligkeit einer Ziffer ist in jedem Zahlensystem aus ihrer Position zu berechnen: Die erste Ziffer (ganz rechts) einer Zahl hat den Faktor b^0, wobei b die Anzahl der verschiedenen Ziffernwerte im Zahlensystem repräsentiert und '''Basis''' genannt wird. Die Zweite Ziffer hat den Faktor b^1, die dritte b^2, usw. Für das Binärsystem ist die Basis '''2''', womit die 2er-Potenzen relevant werden.
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 Das Binärsystem hat als Basis die '''2'''. Die Zahl '''1001''' im Binärsystem hat vier Ziffern, die linke 1 hat den Faktor '''2^3 = 8''', die linke 0 hat den Faktor '''2^2 = 4''', die rechte 0 hat den Faktor '''2^1 = 2''' und die rechte 1 hat den Faktor '''2^0=1'''. Somit lässt sich die Zahl als "Ein mal Acht" plus "Null mal Vier" plus "Null mal Zwei" plus "Ein mal Eins" interpretieren.
 == Umrechnung ==

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 == Motivation ==
-Eine "Zehn" besitzt sowohl im Dezimal-, Binär-, Oktal-, Hexadezimal- oder römischen<ref>Das Zahlensystem der Römer hatte jedoch diverse Eigenschaften, die das intuitive rechnen kaum möglich machte, weswegen wir dies im weiteren außen vor lassen und '''kaum''' eine Aussage die hier getroffen wurde sich auf dieses Zahlensystem übertragen lässt.</ref> System den gleichen Wert, wird jedoch unterschiedlich repräsentiert. Diese sind entsprechend "10", "1010", "12", "A" oder "X". Andere Zahlen besitzen in einem Zahlensystem hingegen keine eindeutige repräsentation, so z.B. die Zahl "ein Halb", welche sich als Bruch mit "1/2 , 2/4, 100/200, ..." repräsentiert lässt, oder die Zahl "ein Drittel" als Dezimalzahl mit Nachkommastellen hingegen garkeine exakte repräsentation haben kann (0.33333...). Damit Sie ein Verständniss entwickeln können, wie Rechner mit Zahlen umgehen und wo bei dieser repräsentation Probleme entstehen können, beschäftigen Sie sich die ersten Wochen der Veranstaltung mit dem Binärsystem.
+Eine "Zehn" besitzt sowohl im Dezimal-, Binär-, Oktal-, [[Hexadezimalzahlen|Hexadezimal]]- oder römischen<ref>Das Zahlensystem der Römer hat jedoch diverse Eigenschaften, die das intuitive Rechnen kaum möglich machen, weswegen wir dies im weiteren außen vor lassen. '''Kaum''' eine Aussage, die hier getroffen wurde, lässt sich auf dieses Zahlensystem übertragen.</ref> System den gleichen Wert, wird jedoch unterschiedlich repräsentiert. Diese sind entsprechend "10", "1010", "12", "A" oder "X". Andere Zahlen besitzen in einem Zahlensystem hingegen keine eindeutige Repräsentation, so z.B. die Zahl "ein Halb", die sich als Bruch mit "1/2 , 2/4, 100/200, ..." repräsentiert lässt. Oder die Zahl "ein Drittel", die als Dezimalzahl mit Nachkommastellen gar keine exakte Repräsentation haben kann (0.33333...). Damit Sie ein Verständnis entwickeln können, wie Rechner mit Zahlen umgehen und wo bei dieser Repräsentation Probleme entstehen können, beschäftigen Sie sich die ersten Wochen der Veranstaltung mit dem '''Binärsystem'''.
 == Ziffern und Werte ==
-Genau wie Zahlen im Dezimalsystem, besitzen die Ziffern einer Zahl einen Wert und eine Position in der Zahl. Die Position, oder Stelligkeit, einer Ziffer gibt den Faktor an, mit dem die Ziffer multipliziert wird um ihren Wert in der Zahl zu repräsentieren. Die Ziffern im Dezimalsystem haben den Wert "0" bis "9", während im Binärsystem nur die Ziffern "0" und "1" existieren. Der Faktor der Stelligkeit einer Ziffer ist in jedem Zahlensystem aus ihrer Position zu berechnen: Die erste (rechteste) Ziffer einer Zahl hat den Faktor b^0, wobei b die Anzahl der verschiedenen Ziffernwerte im Zahlensystem repräsentiert und '''Basis''' genannt wird. Die Zweite Ziffer hat den Faktor b^1, die dritte b^2 usw.
+Genau wie Zahlen im Dezimalsystem besitzen die Ziffern einer Zahl im Binärsystem einen Wert und eine Position innerhalb dieser. Die '''Position''', oder Stelligkeit einer Ziffer gibt den '''Faktor''' an, mit dem die Ziffer multipliziert wird, um ihren Wert in der Zahl zu repräsentieren. Die Ziffern im Dezimalsystem haben den Wert "0" bis "9", während im Binärsystem nur die Ziffern "0" und "1" existieren. Der Faktor der Stelligkeit einer Ziffer ist in jedem Zahlensystem aus ihrer Position zu berechnen: Die erste Ziffer (ganz rechts) einer Zahl hat den Faktor b^0, wobei b die Anzahl der verschiedenen Ziffernwerte im Zahlensystem repräsentiert und '''Basis''' genannt wird. Die Zweite Ziffer hat den Faktor b^1, die dritte b^2, usw. Für das Binärsystem ist die Basis '''2''', womit die 2er-Potenzen relevant werden.
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 === Beispiele ===
-Im Dezimalsystem ist die Basis des Faktors '''10'''. Die Zahl '''734''' im Dezimalsystem hat drei Ziffern, die 7 hat den Faktor '''10^2 = 100''', die 3 den Faktor '''10^1 = 10''' und die 4 den Faktor '''10^0 = 1'''. Somit lässt sich die Zahl als "Sieben mal Hundert", "Drei mal Zehn" und "Vier mal Eins" interpetieren. Da das übliche Zahlensystem, in dem Sie arbeiten das Dezimalsystem ist, sollte dies nicht näher überraschend sein, jedoch ist es wichtig, dass Sie den Hintergrund dieser Repräsentation verstehen.
+Im Dezimalsystem ist die Basis '''10'''. Die Zahl '''734''' hat im Dezimalsystem drei Ziffern. Die 7 hat den Faktor '''10^2 = 100''', die 3 den Faktor '''10^1 = 10''' und die 4 den Faktor '''10^0 = 1'''. Somit lässt sich die Zahl als "Sieben mal Hundert" plus "Drei mal Zehn" plus "Vier mal Eins" interpretieren. Da das Dezimalsystem das übliche Zahlensystem ist, in dem Sie arbeiten, sollte dies nicht näher überraschend sein. Es ist jedoch wichtig, dass den Hintergrund dieser Repräsentation zu verstehen.
-−
-Das Binärsystem hat als Basis den Faktor '''2'''. Die Zahl '''1001''' im Binärsystem hat vier Ziffern, die linke 1 hat den Faktor '''2^3 = 8''', die linke 0 hat den Faktor '''2^2 = 4''', die rechte 0 hat den Faktor '''2^1 = 2''' und die rechte 1 hat den Faktor '''2^0'''. Somit lässt sich die Zahl als "Ein mal Acht", "Null mal Vier", "Null mal Zwei" und "Ein mal Eins" interpretieren.
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-−
 == Umrechnung ==
-=== Binär in Dezimal ===
+=== Binär zu Dezimal ===
 Umgerechnet aus dem Binärsystem in das Dezimalsystem ist die Zahl '''1001''' also '''1*2^3 + 0*2^2 + 0*2^1 + 1*2^0 = 1*8 + 0*4 + 0*2 + 1*1 = 8+1 = 9'''. Da die Repräsentation der Faktoren selbst im Dezimalsystem liegt, sollte dies nicht weiter kompliziert sein.
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-== Dezimal in Binär ===
+=== Dezimal zu Binär ===
-Die Umrechnung vom Dezimalsystem in das Binärsystem baut auf der gleichen Idee, wie die obrige Repräsentation der Zahl '''734''' auf. Man wählt zur Repräsentation zuerst den größten Faktor, der kleiner ist als die Zahl selbst und gibt der Ziffer an der linkesten Position den entsprechenden Wert, wie häufig der Faktor in diese Zahl maximal hinein passt. Der größte Faktor im Dezimalsystem, der in die '''734''' hinein passt ist die '''100=10^2''' und diese passt '''7''' mal in die '''734''' hinein. Also hat die linkeste Ziffer die Stelligkeit '''3''' und den Wert '''7'''. Wir führen den Prozess mit dem Rest '''34''' durch um den Rest der Zahl zu repräsentieren.
+Die Umrechnung vom Dezimalsystem in das Binärsystem basiert auf der gleichen Idee wie die obrige Repräsentation der Zahl '''734'''. Man wählt zur Repräsentation zuerst den größten Faktor, der kleiner ist als die Zahl selbst und gibt der Ziffer an der Position ganz links den entsprechenden Wert. Der größte Faktor im Dezimalsystem, der in die '''734''' hinein passt, ist die '''100=10^2''' und diese passt '''7''' mal in die '''734''' hinein. Also hat die Ziffer ganz links die Stelligkeit '''3''' und den Wert '''7'''. Wir führen den Prozess mit dem Rest '''34''' durch, um den Rest der Zahl zu repräsentieren.
-=== Beispiele ===
+==== Beispiel ====
-Um diese Umrechnung im Binärsystem durchzuführen geht man genau so vor, nur mit anderen Faktoren. Der größte Faktor im Binärsystem, der in die '''734''' hinein passt ist der Faktor '''512=2^9'''. Dieser passt genau ein mal in die Zahl hinein, also hat die linkeste Ziffer der Repräsentation den Wert '''1''' und die Stelligkeit '''10'''. Der Rest, der noch nicht repräsentiert ist, hat den Wert '''734 - 512 = 222'''. Wir setzen das Schema fort:
+Um diese Umrechnung im Binärsystem durchzuführen, geht man genau so vor, nur mit anderen Faktoren. Der größte Faktor im Binärsystem, der in die '''734''' hinein passt, ist der Faktor '''512=2^9'''. Dieser passt genau ein Mal in die Zahl hinein, also hat die Ziffer ganz links in der Repräsentation im Binärsystem den Wert '''1''' und die Stelligkeit '''10'''. Der Rest, der noch nicht repräsentiert ist, hat den Wert '''734 - 512 = 222'''. Wir setzen das Schema fort:
 * Der Faktor '''256=10^8''' passt 0 mal in den Rest hinein, die Ziffer an Position 9 hat also den Wert 0.
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 * Der Faktor '''16=2^4''' passt 1 mal in den Rest hinein, die Ziffer an Position 5 hat also den Wert 1. Der Rest ist '''30 - 16 = 14'''.
-* Der Faktor '''8=2^3''' passt 1 mal in den Rest hinen, die Ziffer an Position 4 hat also den Wert 1. Der Rest ist '''14 - 8 = 6'''.
+* Der Faktor '''8=2^3''' passt 1 mal in den Rest hinein, die Ziffer an Position 4 hat also den Wert 1. Der Rest ist '''14 - 8 = 6'''.
 * Der Faktor '''4=2^2''' passt 1 mal in den Rest hinein, die Ziffer an Position 3 hat also den Wert 1. Der Rest ist '''6 - 4 = 2'''.
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 * Der Faktor '''1=2^0''' passt 0 mal in den Rest hinein, die Ziffer an Position 1 hat also den Wert 0. Damit sind wir fertig.
-Die Zahl '''734''', repräsentiert im Binärsystem, ist also 10 Ziffern groß und ist '''1011011110'''.
+Die Zahl '''734''', repräsentiert im Binärsystem, ist also 10 Ziffern groß und lautet '''1011011110'''.
-===das gleiche Beispiel aber anders===
+====Alternative Umrechnung====
-Man dividiert die Dezimalzahl, die man umrechnen will, mittels Ganzzahldivision durch 2. Den Rest notiert man sich. Das Ergenis der Divison wird solange wieder dividert, bis das Ergbnis 0 ergibt.
+Man dividiert die Dezimalzahl, die man umrechnen will, mittels Ganzzahldivision durch 2. Den Rest notiert man sich. Das Ergebnis der Division wird solange wieder dividiert, bis das Ergebnis 0 ergibt.
 * '''734''' durch 2 ist 367 mit dem Rest '''0'''