Motivation - Versionsgeschichte

Elias am 9. März 2020 um 19:07 Uhr

2020-03-09T19:07:17Z

Elias: /* Sukzessives Rückwärtseinsetzen */

2020-03-09T18:53:50Z

‎Sukzessives Rückwärtseinsetzen

Elias am 9. März 2020 um 18:26 Uhr

2020-03-09T18:26:21Z

Elias: /* Einführung in die Notation */

2020-03-09T18:10:06Z

‎Einführung in die Notation

Elias: /* Einleitung */

2020-03-09T17:55:36Z

‎Einleitung

Elias: Die Seite wurde neu angelegt: „==Einleitung== Viele Probleme in der Mathematik lassen sich auf lineare Gleichungssysteme zurückführen. Im Folgenden wollen wir uns daher damit beschäftige…“

2019-12-02T12:59:40Z

Die Seite wurde neu angelegt: „==Einleitung== Viele Probleme in der Mathematik lassen sich auf lineare Gleichungssysteme zurückführen. Im Folgenden wollen wir uns daher damit beschäftige…“

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==Einleitung==

Viele Probleme in der Mathematik lassen sich auf lineare Gleichungssysteme zurückführen. Im Folgenden wollen wir uns daher damit beschäftigen, wie man entsprechende LGS mithilfe der sogenannten LR-Zerlegung lösen kann und wollen insbesondere auf die Implementierung in Java eingehen. Diese Anwendung soll hierbei nur die Möglichkeiten von Java verdeutlichen und nicht auf eine Optimierung der Laufzeit oder Ausnutzung spezieller Besetzungsstrukturen von Matrizen beruhen.

Wir wollen letztlich eine Implementierung einer direkten Lösungsmethode für (reelle) quadratische lineare Gleichungssysteme erstellen und diese anwenden. Das Verfahren basiert im Wesentlichen auf dem Gaußschen Eliminationsverfahren, welches durch diverse Veranstaltungen bekannt ist.

==Einführung in die Notation==

← Nächstältere Version		Version vom 9. März 2020, 19:07 Uhr
Zeile 23:		Zeile 23:
	x_n = b_n / a_nn		x_n = b_n / a_nn
	x_j = (b_j- (a_j(j+1)x_j+1 ... a_jnx_n) )/a_jj		x_j = (b_j- (a_j(j+1)x_j+1 ... a_jnx_n) )/a_jj
		+
		+	==Anwendung bei allgemeiner Koeffizientenmatrix==
		+
		+	Nach Grundkenntnissen der Linearen Algebra wissen wir, dass wir bei einem LGS folgende Rechenschritte vornehmen können, ohne die Lösung zu verändern:
		+
		+	(1) Wir können Zeilen vertauschen. Hierbei wird stets eine ganze Zeile der Matrix und der rechte entsprechende Vektoreintrag mit einer anderen Zeile und einem Vektoreintrag getauscht.
		+	(2) Wir können alle Einträge der Matrix und des Vektors mit einer reellen Zahl ungleich 0 multiplizieren.
		+	(3) Wir können zu einer Zeile eine andere hinzuaddieren.
		+
		+	Mit diesen Umformungen ist es stets möglich, ein reguläres LGS in die Form zu bringen, dass die Koeefizientenmatrix eine obere Dreiecksmatrix ist. Dieses Umformen bezeichnet man als Eliminationsverfahren, da wir so unter der Hauptdiagonalen die Elemente "eliminieren".
		+	Anschließend können wir das LGS dann durch Rückwärtseinsetzen lösen.

← Nächstältere Version		Version vom 9. März 2020, 18:53 Uhr
Zeile 22:		Zeile 22:

	x_n = b_n / a_nn		x_n = b_n / a_nn
		+	x_j = (b_j- (a_j(j+1)x_j+1 ... a_jnx_n) )/a_jj

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 Viele Probleme in der Mathematik lassen sich auf lineare Gleichungssysteme zurückführen. Im Folgenden wollen wir uns daher damit beschäftigen, wie man entsprechende LGS mithilfe eines Eliminationsverfahrens mit Spaltenpivotierung lösen kann und wollen insbesondere auf die Implementierung in Java eingehen. Diese Anwendung soll hierbei nur die Möglichkeiten von Java verdeutlichen und nicht auf eine Optimierung der Laufzeit oder Ausnutzung spezieller Besetzungsstrukturen von Matrizen beruhen.
-Wir wollen letztlich eine Implementierung einer direkten Lösungsmethode für (reelle) quadratische lineare Gleichungssysteme erstellen und diese anwenden. Die Implementierung basiert im Wesentlichen auf dem Gaußschen Eliminationsverfahren, welches durch diverse Veranstaltungen bekannt ist.
+Wir wollen letztlich eine Implementierung einer direkten Lösungsmethode für (reguläre, reelle) quadratische lineare Gleichungssysteme erstellen und diese anwenden. Die Implementierung basiert im Wesentlichen auf dem Gaußschen Eliminationsverfahren, welches durch diverse Veranstaltungen bekannt ist.
 ==Gestaffelte Systeme==
@@ Zeile 16: / Zeile 16: @@
 folgenden Algorithmus:

← Nächstältere Version		Version vom 9. März 2020, 18:10 Uhr
Zeile 5:		Zeile 5:
	Wir wollen letztlich eine Implementierung einer direkten Lösungsmethode für (reelle) quadratische lineare Gleichungssysteme erstellen und diese anwenden. Die Implementierung basiert im Wesentlichen auf dem Gaußschen Eliminationsverfahren, welches durch diverse Veranstaltungen bekannt ist.		Wir wollen letztlich eine Implementierung einer direkten Lösungsmethode für (reelle) quadratische lineare Gleichungssysteme erstellen und diese anwenden. Die Implementierung basiert im Wesentlichen auf dem Gaußschen Eliminationsverfahren, welches durch diverse Veranstaltungen bekannt ist.

−	==~~Einführung~~ in ~~die Notation~~==	+	==Gestaffelte Systeme==
		+
		+	Wenn wir eine obere Dreiecksmatrix A als Koeffizientmatrix unseres regulären LGS haben, lässt sich dies leicht durch rückwärts einsetzen lösen:
		+	In der letzten Zeile ist nur eine unbekannte Komponente des Vektors in einer linearen Gleichung, in der vorletzten Zeile gibt es nur zwei Unbekannte, wobei wir eine der Unbekannten schon durch vorherige bestimmen können und damit diese Gleichung uns durch Umstellen noch eine Unbekannte bestimmen lässt. So erhalten wir für Systeme der Form
		+
		+	a_11x_1 + a_12x_2 + ... + a_1n*x_n = b_1
		+	a_22x_2 + ... + a_2nx_n = b_2
		+	...
		+	a_nn*x_n = b_n
		+
		+	folgenden Algorithmus:

@@ Zeile 1: / Zeile 1: @@
 ==Einleitung==
-Viele Probleme in der Mathematik lassen sich auf lineare Gleichungssysteme zurückführen. Im Folgenden wollen wir uns daher damit beschäftigen, wie man entsprechende LGS mithilfe der sogenannten LR-Zerlegung lösen kann und wollen insbesondere auf die Implementierung in Java eingehen. Diese Anwendung soll hierbei nur die Möglichkeiten von Java verdeutlichen und nicht auf eine Optimierung der Laufzeit oder Ausnutzung spezieller Besetzungsstrukturen von Matrizen beruhen.
+Viele Probleme in der Mathematik lassen sich auf lineare Gleichungssysteme zurückführen. Im Folgenden wollen wir uns daher damit beschäftigen, wie man entsprechende LGS mithilfe eines Eliminationsverfahrens mit Spaltenpivotierung lösen kann und wollen insbesondere auf die Implementierung in Java eingehen. Diese Anwendung soll hierbei nur die Möglichkeiten von Java verdeutlichen und nicht auf eine Optimierung der Laufzeit oder Ausnutzung spezieller Besetzungsstrukturen von Matrizen beruhen.
-Wir wollen letztlich eine Implementierung einer direkten Lösungsmethode für (reelle) quadratische lineare Gleichungssysteme erstellen und diese anwenden. Das Verfahren basiert im Wesentlichen auf dem Gaußschen Eliminationsverfahren, welches durch diverse Veranstaltungen bekannt ist.
+Wir wollen letztlich eine Implementierung einer direkten Lösungsmethode für (reelle) quadratische lineare Gleichungssysteme erstellen und diese anwenden. Die Implementierung basiert im Wesentlichen auf dem Gaußschen Eliminationsverfahren, welches durch diverse Veranstaltungen bekannt ist.
 ==Einführung in die Notation==