Boolesche Algebra: Unterschied zwischen den Versionen
K (→Alltagsbeispiel) |
K (→Ein Beispiel aus dem Alltag zur Anwendung) |
||
| Zeile 180: | Zeile 180: | ||
(8') ¬(''A'' ∨ ''B'') ≡ ¬''A'' ∧ ¬''B'' | (8') ¬(''A'' ∨ ''B'') ≡ ¬''A'' ∧ ¬''B'' | ||
| − | ====Ein Beispiel aus dem Alltag | + | ====Ein Beispiel zur Anwendung aus dem Alltag==== |
Peter trinkt Tee nur mit Zirtonensaft und Zucker. Dann stimmen die Aussagen: "Wenn Zitronensaft und Zucker im Tee sind, wird Peter ihn trinken " und "Sind weder Zitronensaft noch Zucker im Tee, so trinkt Peter ihn nicht" überein. | Peter trinkt Tee nur mit Zirtonensaft und Zucker. Dann stimmen die Aussagen: "Wenn Zitronensaft und Zucker im Tee sind, wird Peter ihn trinken " und "Sind weder Zitronensaft noch Zucker im Tee, so trinkt Peter ihn nicht" überein. | ||
Version vom 17. August 2016, 13:13 Uhr
Die boolesche Algebra ist eine algebraische Struktur und beschreibt die Operationen UND, ODER und NICHT, die auf logische Aussagen angewendet werden können.
Inhaltsverzeichnis
[Verbergen]Die booleschen Operatoren
Konjunktion (AND)
Die Konjunktion ist eine der grundlegenden logischen Verknüpfungen der Aussagenlogik. Die Konjunktion zweier Aussagen A und B ist genau dann wahr, wenn A und B (sowohl als auch) wahr sind. Das mathematische Symbol ist ∧. In Java wird das AND durch && repräsentiert.
| A | B | A ∧ B |
|---|---|---|
| false | false | false |
| false | true | false |
| true | false | false |
| true | true | true |
Disjunktion (OR)
Die Disjunktion ist eine der grundlegenden logischen Verknüpfungen der Aussagenlogik. Die Disjunktion zweier Aussagen A und B ist genau dann wahr, wenn mindestens eine der Aussagen A oder B wahr ist. Das mathematische Symbol ist ∨. In Java wird das OR durch || repräsentiert.
| A | B | A ∨ B |
|---|---|---|
| false | false | false |
| false | true | true |
| true | false | true |
| true | true | true |
Venn-Diagramm?
Negation (NOT)
Die Negation ist eine wichtige Operation in der Aussagenlogik. Die Negation einer Aussage A führt zur ihrer Verneinung. Das heißt aus einer wahren Aussage wird eine falsche Aussage und umgekehrt. Das mathematische Symbol ist ¬. In Java wird das NOT durch ! repräsentiert.
| A | ¬A |
|---|---|
| false | true |
| true | false |
Kontravalenz (XOR)
Die Kontravalenz ist eine erweiterte logische Verknüpfung in der Aussagenlogik. Die Kontravalenz zweier Aussagen A und B ist genau dann wahr, wenn entweder A oder B, aber nicht beide wahr sind. Das mathematische Symbol ist ⊕. In Java wird das XOR durch ^ repräsentiert.
| A | B | A ⊕ B |
|---|---|---|
| false | false | false |
| false | true | true |
| true | false | true |
| true | true | false |
Venn-Diagramm?
Implikation
Die Implikation ist eine erweiterte logische Verknüpfung in der Aussagenlogik. Die Implikation zweier Aussagen A und B ist genau dann wahr, wenn A falsch oder B wahr ist. Das mathematische Symbol ist ⇒. Die Implikation ist semantisch äquivalent zu ¬A ∨ B. In Java gibt es keinen Implikationsoperator.
Eine Implikation wird im Deutschen meistens durch "wenn A, dann B" ausgedrückt. Es handelt sich hierbei um eine einfache Folgerung. Aus einer falschen Ausgangsaussage A lässt sich alles folgern, daher kann die Gesamtaussage nicht falsch werden.
| A | B | A ⇒ B |
|---|---|---|
| false | false | true |
| false | true | true |
| true | false | false |
| true | true | true |
Venn-Diagramm?
Äquivalenz (XNOR)
Die Äquivalenz ist eine erweiterte logische Verknüpfung in der Aussagenlogik. Die Äquivalenz zweier Aussagen A und B ist genau dann wahr, wenn A und B wahr oder A und B falsch sind. Das mathematische Symbol ist ⇔. Die Äquivalenz ist semantisch äquivalent zu A ∧ B ∨ ¬A ∧ ¬B. In Java gibt es keinen Operator hierfür.
Die Äquivalenz wird im Deutschen meistens durch "genau dann A, wenn B" ausgedrückt. "Genau" heißt immer und nur unter dieser Bedingung. A gilt genau dann, wenn B gilt. A und B sind äquivalent, also austauschbar. Das heißt die vorherige Aussage gilt auch anders herum: B gilt genau dann, wenn A gilt.
| A | B | A ⇔ B |
|---|---|---|
| false | false | true |
| false | true | false |
| true | false | false |
| true | true | true |
Venn-Diagramm?
Peano-Axiome (erweitertes Wissen)
Kommutativgesetze
(1) A ∧ B ≡ B ∧ A
(1') A ∨ B ≡ B ∨ A
Erläuterung
Vertauschen der Argumente A und B, ohne dass sich das Ergebnis der Operation ändert.
Assoziativgesetze
(2) (A ∧ B) ∧ C ≡ A ∧ (B ∧ C)
(2') (A ∨ B) ∨ C ≡ A ∨ (B ∨ C)
Erläuterung
Die Klammerung der oben durchgeführten Operationen hat keinen Einfluss auf das Ergebnis.
Idempotenzgesetze
(3) A ∧ A ≡ A
(3') A ∨ A ≡ A
Erläuterung
Die Eigenschaften des Arguments A bleiben, auch wenn dieses mit sich selbst verknüft wird, bestehen.
Distributivgesetze
(4) A ∧ (B ∨ C) ≡ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)
(4') A ∨ (B ∧ C) ≡ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)
Erläuterung
Auswirkung des Aufösens von Klammern um Verknüfungen von Operationen: ähnlich dem "Ausmultiplizieren" in der Schulmathematik.
Neutralitätsgesetze
(5) A ∧ true ≡ A
(5') A ∨ false ≡ A
Erläuterung
Der Wert des Argument A wird durch die oben ausgeführten Operationen nicht verändert.
Extremalgesetze
(6) A ∧ false ≡ false
(6') A ∨ true ≡ true
Erläuterung
Das Ergebnis der oben beschriebenen Operationen ist unabhängig vom Wert des Arguments A.
Doppelnegationsgesetz
(7) ¬(¬A) ≡ A
Erläuterung
"Doppelte Verneinung": der Wert von A wird durch zweimaliges Ausführen des ¬ -Operators nicht beeinflusst.
De Morgansche Gesetze
(8) ¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B
(8') ¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B
Ein Beispiel zur Anwendung aus dem Alltag
Peter trinkt Tee nur mit Zirtonensaft und Zucker. Dann stimmen die Aussagen: "Wenn Zitronensaft und Zucker im Tee sind, wird Peter ihn trinken " und "Sind weder Zitronensaft noch Zucker im Tee, so trinkt Peter ihn nicht" überein.
Komplementärgesetze
(9) A ∧ ¬A ≡ false
(9') A ∨ ¬A ≡ true
Dualitätsgesetze
(10) ¬0 ≡ 1
(10') ¬1 ≡ 0
