Boolesche Algebra: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 9. November 2016, 14:57 Uhr

Die boolesche Algebra ist eine algebraische Struktur und beschreibt die Operationen UND, ODER und NICHT, die auf logische Aussagen angewendet werden können. Die Kenntnis dieser Struktur ist hilfreich für den Umgang mit dem Datentyp boolean.

Die booleschen Operatoren

Konjunktion (AND)

Die Konjunktion ist eine der grundlegenden logischen Verknüpfungen der Aussagenlogik. Die Konjunktion zweier Aussagen A und B ist genau dann wahr, wenn A und B (sowohl als auch) wahr sind. Das mathematische Symbol ist ∧. In Java wird das AND durch && repräsentiert.

A	B	A ∧ B
false	false	false
false	true	false
true	false	false
true	true	true

Disjunktion (OR)

Die Disjunktion ist eine der grundlegenden logischen Verknüpfungen der Aussagenlogik. Die Disjunktion zweier Aussagen A und B ist genau dann wahr, wenn mindestens eine der Aussagen A oder B wahr ist. Das mathematische Symbol ist ∨. In Java wird das OR durch || repräsentiert.

A	B	A ∨ B
false	false	false
false	true	true
true	false	true
true	true	true

Negation (NOT)

Die Negation ist eine wichtige Operation in der Aussagenlogik. Die Negation einer Aussage A führt zur ihrer Verneinung. Das heißt aus einer wahren Aussage wird eine falsche Aussage und umgekehrt. Das mathematische Symbol ist ¬. In Java wird das NOT durch ! repräsentiert.

A	¬A
false	true
true	false

Kontravalenz (XOR)

Die Kontravalenz ist eine erweiterte logische Verknüpfung in der Aussagenlogik. Die Kontravalenz zweier Aussagen A und B ist genau dann wahr, wenn entweder A oder B, aber nicht beide wahr sind. Das mathematische Symbol ist ⊕. In Java wird das XOR durch ^ repräsentiert.

A	B	A ⊕ B
false	false	false
false	true	true
true	false	true
true	true	false

Implikation

Die Implikation ist eine erweiterte logische Verknüpfung in der Aussagenlogik. Die Implikation zweier Aussagen A und B ist genau dann wahr, wenn A falsch oder B wahr ist. Das mathematische Symbol ist ⇒. Die Implikation ist semantisch äquivalent zu ¬A ∨ B. In Java gibt es keinen Implikationsoperator.

Eine Implikation wird im Deutschen meistens durch "wenn A, dann B" ausgedrückt. Es handelt sich hierbei um eine einfache Folgerung. Aus einer falschen Ausgangsaussage A lässt sich alles folgern, daher kann die Gesamtaussage nicht falsch werden.

A	B	A ⇒ B
false	false	true
false	true	true
true	false	false
true	true	true

Äquivalenz (XNOR)

Die Äquivalenz ist eine erweiterte logische Verknüpfung in der Aussagenlogik. Die Äquivalenz zweier Aussagen A und B ist genau dann wahr, wenn A und B wahr oder A und B falsch sind. Das mathematische Symbol ist ⇔. Die Äquivalenz ist semantisch äquivalent zu A ∧ B ∨ ¬A ∧ ¬B. In Java gibt es keinen Operator hierfür.

Die Äquivalenz wird im Deutschen meistens durch "genau dann A, wenn B" ausgedrückt. "Genau" heißt immer und nur unter dieser Bedingung. A gilt genau dann, wenn B gilt. A und B sind äquivalent, also austauschbar. Das heißt die vorherige Aussage gilt auch anders herum: B gilt genau dann, wenn A gilt.

A	B	A ⇔ B
false	false	true
false	true	false
true	false	false
true	true	true

Peano-Axiome (erweitertes Wissen)

Wenn keine Klammern vorhanden sind, gilt folgende Reihenfolge: Am stärksten bindet Negation, danach Konjunktion und danach Disjunktion.

Kommutativgesetze

(1) A ∧ B ≡ B ∧ A

(1') A ∨ B ≡ B ∨ A

Das Vertauschen der Argumente A und B ist hier möglich, ohne dass sich das Ergebnis der Operation ändert.

Assoziativgesetze

(2) (A ∧ B) ∧ C ≡ A ∧ (B ∧ C)

(2') (A ∨ B) ∨ C ≡ A ∨ (B ∨ C)

Die Klammerung der oben durchgeführten Operationen hat keinen Einfluss auf das Ergebnis.

Idempotenzgesetze

(3) A ∧ A ≡ A

(3') A ∨ A ≡ A

Die Eigenschaften des Arguments A bleiben bestehen, auch wenn dieses mit sich selbst verknüpft wird.

Distributivgesetze

(4) A ∧ (B ∨ C) ≡ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)

(4') A ∨ (B ∧ C) ≡ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)

Auswirkung des Auflösens von Klammern um Verknüpfungen von Operationen; ähnlich dem "Ausmultiplizieren" in der Schulmathematik.

Neutralitätsgesetze

(5) A ∧ true ≡ A

(5') A ∨ false ≡ A

Der Wert des Argumentes A wird durch die oben ausgeführten Operationen nicht verändert.

Extremalgesetze

(6) A ∧ false ≡ false

(6') A ∨ true ≡ true

Das Ergebnis der oben beschriebenen Operationen ist unabhängig vom Wert des Arguments A.

Doppelnegationsgesetz

(7) ¬(¬A) ≡ A

"Doppelte Verneinung": Der Wert von A wird durch zweimaliges Ausführen des ¬ -Operators nicht beeinflusst.

De Morgansche Gesetze

(8) ¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B

(8') ¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B

Alltagsbeispiele:

(8) Peter hat sich einen Tee zubereitet, in dem nicht Zitronensaft und Zucker enthalten sind. Beschreibe die Boolesche Variable A den Zustand, dass Zucker im Tee ist und B den Zustand, dass sich Zitronensaft im Tee befindet. Dann lautet die Antwort auf die Frage, ob Peters Tee Zucker und Zitronensaft (beides auf einmal) beinhaltet (also A = true und B = true:

¬(A ∧ B) = ¬(true ∧ true) = ¬true =false. In Peters Tee ist kein Zitronensaft und Zucker.

Diese Aussage ist äquivalent zu der Aussage "In Peters Tee ist kein Zitronensaft oder kein Zucker" (also mindestens eins von beiden ist nicht enthalten). Das heißt bei gleicher Belegung der Variablen erhält man das gleiche Ergebnis:

¬A ∨ ¬B = ¬true ∨ ¬true = false ∨ false = false.

Damit die jeweilige Aussage wahr ist, muss mindestens eine der beiden Zutaten nicht in Peters Tee enthalten sein.

(8') Petras Kaffee enthält nicht Milch oder Zucker. Die Variable A beschreibe den Zustand, dass der Kaffee Milch enthält und B, dass Zucker enthalten ist. Die Antwort auf die Frage, ob der Kaffee Milch aber keinen Zucker enthält (also A = true und B = false) lautet dementsprechend:

¬(A ∨ B) =¬(true ∨ false) = ¬true = false. In Petras Kaffee ist weder Milch noch Zucker.

Diese Aussage ist äquivalent zu "Petras Kaffee enthält keine Milch und keinen Zucker." Das heißt bei gleicher Belegung der Variablen kommt das gleiche Ergebnis heraus:

¬A ∧ ¬B = ¬true ∧ ¬false = false ∧ true = false.

Komplementärgesetze

(9) A ∧ ¬A ≡ false

(9') A ∨ ¬A ≡ true

Es können nicht gleichzeitig A und die Negation von A gelten: Beispielsweise kann der Himmel nicht gleichzeitig blau und nicht-blau sein (9). Allerdings ist der Himmel entweder blau oder nicht-blau gefärbt (9').

Dualitätsgesetze

(10) ¬false ≡ true

(10') ¬true ≡ false

Der Wert true ist das Komplement zu false. Ist eine Aussage nicht-wahr, so ist sie falsch. Umgekehrt gilt für eine nicht-falsche Aussage, dass sie wahr sein muss.

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 Die '''Disjunktion''' ist eine der grundlegenden logischen Verknüpfungen der Aussagenlogik. Die Disjunktion zweier Aussagen ''A'' und ''B'' ist genau dann wahr, wenn mindestens eine der Aussagen ''A'' '''oder''' ''B'' wahr ist. Das mathematische Symbol ist '''&or;'''. In [[Java]] wird das '''OR''' durch '''||''' repräsentiert.
+[[Datei:venn_or.png|220x160px|right]]
 {| class = "wikitable" width=50% align="center"
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 | ''true'' ||''true'' || ''true''
 |}
-''Venn-Diagramm?''
 ===Negation (NOT)===
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 Die '''Kontravalenz''' ist eine erweiterte logische Verknüpfung in der Aussagenlogik. Die Kontravalenz zweier Aussagen ''A'' und ''B'' ist genau dann wahr, wenn '''entweder''' ''A'' '''oder''' ''B'', aber nicht beide wahr sind. Das mathematische Symbol ist '''⊕'''. In [[Java]] wird das '''XOR''' durch '''^''' repräsentiert.
+[[Datei:venn_xor.png|220x160px|right]]
 {| class = "wikitable" width=50% align="center"
@@ Zeile 65: / Zeile 65: @@
 | ''true'' ||''true'' || ''false''
 |}
-''Venn-Diagramm?''
 ===Implikation===
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 Eine Implikation wird im Deutschen meistens durch "'''wenn''' ''A'', '''dann''' ''B''" ausgedrückt. Es handelt sich hierbei um eine einfache Folgerung. Aus einer falschen Ausgangsaussage '''A''' lässt sich alles folgern, daher kann die Gesamtaussage nicht falsch werden.
+[[Datei:venn_implikation.png|220x160px|right]]
 {| class = "wikitable" width=50% align="center"
@@ Zeile 85: / Zeile 84: @@
 | ''true'' ||''true'' || ''true''
 |}
-''Venn-Diagramm?''
 ===Äquivalenz (XNOR)===
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 Die Äquivalenz wird im Deutschen meistens durch "'''genau dann''' ''A'', '''wenn''' ''B''" ausgedrückt. "Genau" heißt immer und nur unter dieser Bedingung. '''A''' gilt genau dann, wenn '''B''' gilt. '''A''' und '''B''' sind äquivalent, also austauschbar. Das heißt die vorherige Aussage gilt auch anders herum: '''B''' gilt genau dann, wenn '''A''' gilt.
+[[Datei:venn_äquivalenz.png|right]]
 {| class = "wikitable" width=50% align="center"
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 | ''true'' ||''true'' || ''true''
 |}
-''Venn-Diagramm?''
 ==Peano-Axiome (erweitertes Wissen)==
+Wenn keine Klammern vorhanden sind, gilt folgende Reihenfolge: Am stärksten bindet Negation, danach Konjunktion und danach Disjunktion.
 ===Kommutativgesetze===
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 (8') &not;(''A'' &or; ''B'') &equiv; &not;''A'' &and; &not;''B''
-Alltagsbeispiel:
+Alltagsbeispiele:
+(8) Peter hat sich einen Tee zubereitet, in dem nicht Zitronensaft und Zucker enthalten sind.
+Beschreibe die Boolesche Variable '''A''' den Zustand, dass Zucker im Tee ist und '''B''' den Zustand, dass sich Zitronensaft im Tee befindet. Dann lautet die Antwort auf die Frage, ob Peters Tee Zucker und Zitronensaft (beides auf einmal) beinhaltet (also '''A''' = '''true''' und '''B''' = '''true''':
-Peter trinkt Tee nur mit Zitronensaft und Zucker.
+&not;(''A'' &and; ''B'') = &not;(''true'' &and; ''true'') = &not;''true'' =''false''.  In Peters Tee ist kein Zitronensaft und Zucker.
-Beschreibe die Boolesche Variable '''A''' den Zustand, dass Zucker im Tee ist und '''B''' den Zustand, dass sich Zitronensaft im Tee befindet. Dann lautet die Antwort auf die Frage, ob Peter Tee mit Zucker und Zitronensaft trinken wird mit Hilfe der Variablen '''A''' = '''true''', '''B''' = '''true''' (denn sowohl Zitronensaft als auch Zucker sind im Tee):
-&not;(''A'' &and; ''B'') = &not;(''true'' &and; ''true'') = &not;''true'' =''false'' (Peter trinkt den Tee nicht)
+Diese Aussage ist äquivalent zu der Aussage "In Peters Tee ist kein Zitronensaft oder kein Zucker" (also mindestens eins von beiden ist nicht enthalten). Das heißt bei gleicher Belegung der Variablen erhält man das gleiche Ergebnis:
-und diese ist offensichtlich die gleiche Antwort wie auf die Frage, ob Peter Tee trinken würde, wenn kein Zitronensaft oder kein Zucker im Tee wäre (also wenigstens eine der gewünschten Zutaten fehlt)
+&not;''A'' &or; &not;''B'' = &not;''true'' &or; &not;''true'' = ''false'' &or; ''false'' = false.
-&not;''A'' &or; &not;''B'' = &not;''true'' &or; &not;''true'' = ''false'' &or; ''false'' = false.
+Damit die jeweilige Aussage wahr ist, muss mindestens eine der beiden Zutaten nicht in Peters Tee enthalten sein.
-Peters Freundin Petra mag ihren Kaffee nicht schwarz, er muss wenigstens Milch oder Zucker enthalten. Die Variable '''A''' beschreibende den Zustand, dass der Kaffee Milch enthält und '''B''', dass Zucker enthalten ist.
+(8') Petras Kaffee enthält nicht Milch oder Zucker. Die Variable '''A''' beschreibe den Zustand, dass der Kaffee Milch enthält und '''B''', dass Zucker enthalten ist. Die Antwort auf die Frage, ob der Kaffee Milch aber keinen Zucker enthält (also '''A''' = '''true''' und '''B''' = '''false''') lautet dementsprechend:
-Trinkt Petra ihren Kaffee nicht, wenn Peter ihn mit Milch aber ohne Zucker zubereitet?
-&not;(''A'' &or; ''B'') =&not;(''true'' &or; ''false'') = &not;''true'' = ''false'' (es ist also falsch, dass Petra den Kaffee nicht trinkt)
+&not;(''A'' &or; ''B'') =&not;(''true'' &or; ''false'') = &not;''true'' = ''false''. In Petras Kaffee ist weder Milch noch Zucker.
-und das gleiche Ergebnis ergibt sich für die Variante ohne Milch aber mit Zucker
+Diese Aussage ist äquivalent zu "Petras Kaffee enthält keine Milch und keinen Zucker." Das heißt bei gleicher Belegung der Variablen kommt das gleiche Ergebnis heraus:
 &not;''A'' &and; &not;''B'' = &not;''true'' &and; &not;''false'' = ''false'' &and; ''true'' = ''false''.