Boolesche Algebra: Unterschied zwischen den Versionen
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===Disjunktion (OR)=== | ===Disjunktion (OR)=== | ||
| − | Die Disjunktion ist eine der grundlegenden logischen Verknüpfungen der Aussagenlogik. Die Disjunktion zweier Aussagen ''A'' und ''B'' ist genau dann wahr, wenn mindestens eine der Aussagen ''A'' '''oder''' ''B'' wahr ist. Das mathematische Symbol ist '''∨'''. In [[Java]] wird das OR durch '''||''' repräsentiert. | + | Die '''Disjunktion''' ist eine der grundlegenden logischen Verknüpfungen der Aussagenlogik. Die Disjunktion zweier Aussagen ''A'' und ''B'' ist genau dann wahr, wenn mindestens eine der Aussagen ''A'' '''oder''' ''B'' wahr ist. Das mathematische Symbol ist '''∨'''. In [[Java]] wird das '''OR''' durch '''||''' repräsentiert. |
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===Negation (NOT)=== | ===Negation (NOT)=== | ||
| − | Die Negation ist eine wichtige Operation in der Aussagenlogik. Die Negation einer Aussage ''A'' führt zur ihrer Verneinung, d.h. aus einer wahren Aussage wird eine falsche Aussage und umgekehrt. Das mathematische Symbol ist '''¬'''. In [[Java]] wird das NOT durch '''!''' repräsentiert. | + | Die '''Negation''' ist eine wichtige Operation in der Aussagenlogik. Die Negation einer Aussage ''A'' führt zur ihrer Verneinung, d.h. aus einer wahren Aussage wird eine falsche Aussage und umgekehrt. Das mathematische Symbol ist '''¬'''. In [[Java]] wird das '''NOT''' durch '''!''' repräsentiert. |
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===Kontravalenz (XOR)=== | ===Kontravalenz (XOR)=== | ||
| − | Die Kontravalenz ist eine erweiterte logische Verknüpfung in der Aussagenlogik. Die Kontravalenz zweier Aussagen ''A'' und ''B'' ist genau dann wahr, wenn '''entweder''' ''A'' '''oder''' ''B'', aber nicht beide wahr sind. Das mathematische Symbol ist '''⊕'''. In [[Java]] wird das XOR durch '''^''' repräsentiert. | + | Die '''Kontravalenz''' ist eine erweiterte logische Verknüpfung in der Aussagenlogik. Die Kontravalenz zweier Aussagen ''A'' und ''B'' ist genau dann wahr, wenn '''entweder''' ''A'' '''oder''' ''B'', aber nicht beide wahr sind. Das mathematische Symbol ist '''⊕'''. In [[Java]] wird das '''XOR''' durch '''^''' repräsentiert. |
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===Implikation=== | ===Implikation=== | ||
| − | Die Implikation ist eine erweiterte logische Verknüpfung in der Aussagenlogik. Die Implikation zweier Aussagen ''A'' und ''B'' ist genau dann wahr, wenn ''A'' falsch oder ''B'' wahr ist. Das mathematische Symbol ist '''⇒'''. Die Implikation ist [semantisch äquivalent] zu ¬A ∨ B. In [[Java]] gibt es keinen Implikationsoperator. Eine Implikation wird meistens durch "'''wenn''' ''A'', '''dann''' ''B''" | + | Die '''Implikation''' ist eine erweiterte logische Verknüpfung in der Aussagenlogik. Die Implikation zweier Aussagen ''A'' und ''B'' ist genau dann wahr, wenn ''A'' falsch oder ''B'' wahr ist. Das mathematische Symbol ist '''⇒'''. Die Implikation ist [semantisch äquivalent] zu ¬A ∨ B. In [[Java]] gibt es keinen Implikationsoperator. Eine Implikation wird im Deutschen meistens durch "'''wenn''' ''A'', '''dann''' ''B''" ausgedrückt. |
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===Äquivalenz (XNOR)=== | ===Äquivalenz (XNOR)=== | ||
| − | Die Äquivalenz ist eine erweiterte logische Verknüpfung in der Aussagenlogik. Die Äquivalenz zweier Aussagen ''A'' und ''B'' ist genau dann wahr, wenn ''A'' und ''B'' wahr oder ''A'' und ''B'' falsch sind. Das mathematische Symbol ist '''⇔'''. Die Äquivalenz ist [semantisch äquivalent] zu A ∧ B ∨ ¬A ∧ ¬B. In [[Java]] gibt es keinen Operator hierfür. Die Äquivalenz wird meistens durch "'''genau dann''' ''A'', '''wenn''' ''B''" | + | Die '''Äquivalenz''' ist eine erweiterte logische Verknüpfung in der Aussagenlogik. Die Äquivalenz zweier Aussagen ''A'' und ''B'' ist genau dann wahr, wenn ''A'' und ''B'' wahr oder ''A'' und ''B'' falsch sind. Das mathematische Symbol ist '''⇔'''. Die Äquivalenz ist [semantisch äquivalent] zu A ∧ B ∨ ¬A ∧ ¬B. In [[Java]] gibt es keinen Operator hierfür. Die Äquivalenz wird im Deutschen meistens durch "'''genau dann''' ''A'', '''wenn''' ''B''" ausgedrückt. |
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Version vom 11. April 2016, 20:45 Uhr
Die boolesche Algebra ist eine algebraische Struktur und beschreibt die Operationen UND, ODER und NICHT, welche auf logischen Aussagen angewendet werden können.
Inhaltsverzeichnis
Die booleschen Operatoren
Konjunktion (AND)
Die Konjunktion ist eine der grundlegenden logischen Verknüpfungen der Aussagenlogik. Die Konjunktion zweier Aussagen A und B ist genau dann wahr, wenn A und B (sowohl als auch) wahr sind. Das mathematische Symbol ist ∧. In Java wird das AND durch && repräsentiert.
| A | B | A ∧ B |
|---|---|---|
| false | false | false |
| false | true | false |
| true | false | false |
| true | true | true |
Disjunktion (OR)
Die Disjunktion ist eine der grundlegenden logischen Verknüpfungen der Aussagenlogik. Die Disjunktion zweier Aussagen A und B ist genau dann wahr, wenn mindestens eine der Aussagen A oder B wahr ist. Das mathematische Symbol ist ∨. In Java wird das OR durch || repräsentiert.
| A | B | A ∨ B |
|---|---|---|
| false | false | false |
| false | true | true |
| true | false | true |
| true | true | true |
Venn-Diagramm?
Negation (NOT)
Die Negation ist eine wichtige Operation in der Aussagenlogik. Die Negation einer Aussage A führt zur ihrer Verneinung, d.h. aus einer wahren Aussage wird eine falsche Aussage und umgekehrt. Das mathematische Symbol ist ¬. In Java wird das NOT durch ! repräsentiert.
| A | ¬A |
|---|---|
| false | true |
| true | false |
Kontravalenz (XOR)
Die Kontravalenz ist eine erweiterte logische Verknüpfung in der Aussagenlogik. Die Kontravalenz zweier Aussagen A und B ist genau dann wahr, wenn entweder A oder B, aber nicht beide wahr sind. Das mathematische Symbol ist ⊕. In Java wird das XOR durch ^ repräsentiert.
| A | B | A ⊕ B |
|---|---|---|
| false | false | false |
| false | true | true |
| true | false | true |
| true | true | false |
Venn-Diagramm?
Implikation
Die Implikation ist eine erweiterte logische Verknüpfung in der Aussagenlogik. Die Implikation zweier Aussagen A und B ist genau dann wahr, wenn A falsch oder B wahr ist. Das mathematische Symbol ist ⇒. Die Implikation ist [semantisch äquivalent] zu ¬A ∨ B. In Java gibt es keinen Implikationsoperator. Eine Implikation wird im Deutschen meistens durch "wenn A, dann B" ausgedrückt.
| A | B | A ⇒ B |
|---|---|---|
| false | false | true |
| false | true | true |
| true | false | false |
| true | true | true |
Venn-Diagramm?
Äquivalenz (XNOR)
Die Äquivalenz ist eine erweiterte logische Verknüpfung in der Aussagenlogik. Die Äquivalenz zweier Aussagen A und B ist genau dann wahr, wenn A und B wahr oder A und B falsch sind. Das mathematische Symbol ist ⇔. Die Äquivalenz ist [semantisch äquivalent] zu A ∧ B ∨ ¬A ∧ ¬B. In Java gibt es keinen Operator hierfür. Die Äquivalenz wird im Deutschen meistens durch "genau dann A, wenn B" ausgedrückt.
| A | B | A ⇔ B |
|---|---|---|
| false | false | true |
| false | true | false |
| true | false | false |
| true | true | true |
Venn-Diagramm?
Peano-Axiome (erweitertes Wissen)
Kommutativgesetze
(1) A ∧ B ≡ B ∧ A
(1') A ∨ B ≡ B ∨ A
Assoziativgesetze
(2) (A ∧ B) ∧ C ≡ A ∧ (B ∧ C)
(2') (A ∨ B) ∨ C ≡ A ∨ (B ∨ C)
Idempotenzgesetze
(3) A ∧ A ≡ A
(3') A ∨ A ≡ A
Distributivgesetze
(4) A ∧ (B ∨ C) ≡ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)
(4') A ∨ (B ∧ C) ≡ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)
Neutralitätsgesetze
(5) A ∧ true ≡ A
(5') A ∨ false ≡ A
Extremalgesetze
(6) A ∧ false ≡ false
(6') A ∨ true ≡ true
Doppelnegationsgesetz
(7) ¬¬A ≡ A
De Morgansche Gesetze
unwichtig?
Komplementärgesetze
(8) A ∧ ¬A ≡ false
(8') A ∨ ¬A ≡ true
Dualitätsgesetze
unwichtig?
Absorptionsgesetze
unwichtig?
