Boolesche Algebra: Unterschied zwischen den Versionen
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Version vom 22. Februar 2016, 15:33 Uhr
Inhaltsverzeichnis
Die boolesche Operatoren
Konjunktion (AND)
Die Konjunktion ist eine der grundlegenden logischen Verknüpfungen der Aussagenlogik. Die Konjunktion zweier Aussagen A und B ist genau dann wahr, wenn sowohl A und B wahr sind. Das mathematiche Symbol ist ∧. In Java wird das AND durch && repräsentiert.
| A | B | A ∧ B |
|---|---|---|
| false | false | false |
| false | true | false |
| true | false | false |
| true | true | true |
Disjunktion (OR)
Die Disjunktion ist eine der grundlegenden logischen Verknüpfungen der Aussagenlogik. Die Disjunktion zweier Aussagen A und B ist genau dann wahr, wenn mindestens eine der Aussagen A oder B wahr ist. Das mathematische Symbol ist ∨. In Java wird das OR durch || repräsentiert.
| A | B | A ∨ B |
|---|---|---|
| false | false | false |
| false | true | true |
| true | false | true |
| true | true | true |
Venn-Diagramm?
Negation (NOT)
Die Negation ist eine wichtige Operation in der Aussagenlogik. Die Negation einer Aussage A führt zur ihrer Verneinung, d.h. aus einer wahren Aussage wird eine falsche Aussage und umgekehrt. Das mathematische Symbol ist ¬. In Java wird das NOT durch ! repräsentiert.
| A | ¬A |
|---|---|
| false | true |
| true | false |
Kontravalenz (XOR)
Die Kontravalenz ist eine erweiterte logische Verknüpfung in der Aussagenlogik. Die Kontravalenz zweier Aussagen A und B ist genau dann wahr, wenn entweder A oder B, aber nicht beide wahr sind. Das mathematische Symbol ist ⊕. In Java wird das XOR durch ^ repräsentiert.
| A | B | A ∨ B |
|---|---|---|
| false | false | false |
| false | true | true |
| true | false | true |
| true | true | false |
Venn-Diagramm?
Implikation
Die Implikation ist eine erweiterte logische Verknüpfung in der Aussagenlogik. Die Implikation zweier Aussagen A und B ist genau dann wahr, wenn A falsch oder B wahr ist. Das mathematische Symbol ist ⇒. Die Implikation ist [semantisch äquivalent] zu ¬A ∨ B. In Java gibt es keinen Implikationsoperator. Eine Implikation wird meistens durch "wenn A, dann B" im Deutschem ausgedrückt.
| A | B | A ⇒ B |
|---|---|---|
| false | false | true |
| false | true | true |
| true | false | false |
| true | true | true |
Venn-Diagramm?
Äquivalenz (XNOR)
Die Äquivalenz ist eine erweiterte logische Verknüpfung in der Aussagenlogik. Die Äquivalenz zweier Aussagen A und B ist genau dann wahr, wenn A und B wahr oder A und B falsch sind. Das mathematische Symbol ist ⇔. Die Äquivalenz ist [semantisch äquivalent] zu A ∧ B ∨ ¬A ∧ ¬B. In Java gibt es keinen Operator hierfür. Die Äquivalenz wird meistens durch "genau dann A, wenn B" im Deutschem ausgedrückt.
| A | B | A ⇔ B |
|---|---|---|
| false | false | true |
| false | true | false |
| true | false | false |
| true | true | true |
Venn-Diagramm?
Peano-Axiome (erweitertes Wissen)
Kommutativgesetze
(1) A ∧ B ≡ B ∧ A
(1') A ∨ B ≡ B ∨ A
Assoziativgesetze
(2) (A ∧ B) ∧ C ≡ A ∧ (B ∧ C)
(2') (A ∨ B) ∨ C ≡ A ∨ (B ∨ C)
Idempotenzgesetze
(3) A ∧ A ≡ A
(3') A ∨ A ≡ A
Distributivgesetze
(4) A ∧ (B ∨ C) ≡ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)
(4') A ∨ (B ∧ C) ≡ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)
Neutralitätsgesetze
(5) A ∧ true ≡ A
(5') A ∨ false ≡ A
Extremalgesetze
(6) A ∧ false ≡ false
(6') A ∨ true ≡ true
Doppelnegationsgesetz
(7) ¬¬A ≡ A
De Morgansche Gesetze
unwichtig?
Komplementärgesetze
(8) A ∧ ¬A ≡ false
(8') A ∨ ¬A ≡ true
Dualitätsgesetze
unwihtig?
Absorptionsgesetze
unwichtig?
