Boolesche Algebra

Die boolesche Algebra ist eine algebraische Struktur und beschreibt die Operationen UND, ODER und NICHT, die auf logische Aussagen angewendet werden können.

Die booleschen Operatoren

Konjunktion (AND)

Die Konjunktion ist eine der grundlegenden logischen Verknüpfungen der Aussagenlogik. Die Konjunktion zweier Aussagen A und B ist genau dann wahr, wenn A und B (sowohl als auch) wahr sind. Das mathematische Symbol ist ∧. In Java wird das AND durch && repräsentiert.

A	B	A ∧ B
false	false	false
false	true	false
true	false	false
true	true	true

Disjunktion (OR)

Die Disjunktion ist eine der grundlegenden logischen Verknüpfungen der Aussagenlogik. Die Disjunktion zweier Aussagen A und B ist genau dann wahr, wenn mindestens eine der Aussagen A oder B wahr ist. Das mathematische Symbol ist ∨. In Java wird das OR durch || repräsentiert.

A	B	A ∨ B
false	false	false
false	true	true
true	false	true
true	true	true

Venn-Diagramm?

Negation (NOT)

Die Negation ist eine wichtige Operation in der Aussagenlogik. Die Negation einer Aussage A führt zur ihrer Verneinung. Das heißt aus einer wahren Aussage wird eine falsche Aussage und umgekehrt. Das mathematische Symbol ist ¬. In Java wird das NOT durch ! repräsentiert.

A	¬A
false	true
true	false

Kontravalenz (XOR)

Die Kontravalenz ist eine erweiterte logische Verknüpfung in der Aussagenlogik. Die Kontravalenz zweier Aussagen A und B ist genau dann wahr, wenn entweder A oder B, aber nicht beide wahr sind. Das mathematische Symbol ist ⊕. In Java wird das XOR durch ^ repräsentiert.

A	B	A ⊕ B
false	false	false
false	true	true
true	false	true
true	true	false

Venn-Diagramm?

Implikation

Die Implikation ist eine erweiterte logische Verknüpfung in der Aussagenlogik. Die Implikation zweier Aussagen A und B ist genau dann wahr, wenn A falsch oder B wahr ist. Das mathematische Symbol ist ⇒. Die Implikation ist semantisch äquivalent zu ¬A ∨ B. In Java gibt es keinen Implikationsoperator.

Eine Implikation wird im Deutschen meistens durch "wenn A, dann B" ausgedrückt. Es handelt sich hierbei um eine einfache Folgerung. Aus einer falschen Ausgangsaussage A lässt sich alles folgern, daher kann die Gesamtaussage nicht falsch werden.

A	B	A ⇒ B
false	false	true
false	true	true
true	false	false
true	true	true

Venn-Diagramm?

Äquivalenz (XNOR)

Die Äquivalenz ist eine erweiterte logische Verknüpfung in der Aussagenlogik. Die Äquivalenz zweier Aussagen A und B ist genau dann wahr, wenn A und B wahr oder A und B falsch sind. Das mathematische Symbol ist ⇔. Die Äquivalenz ist semantisch äquivalent zu A ∧ B ∨ ¬A ∧ ¬B. In Java gibt es keinen Operator hierfür.

Die Äquivalenz wird im Deutschen meistens durch "genau dann A, wenn B" ausgedrückt. "Genau" heißt immer und nur unter dieser Bedingung. A gilt genau dann, wenn B gilt. A und B sind äquivalent, also austauschbar. Das heißt die vorherige Aussage gilt auch anders herum: B gilt genau dann, wenn A gilt.

A	B	A ⇔ B
false	false	true
false	true	false
true	false	false
true	true	true

Venn-Diagramm?

Peano-Axiome (erweitertes Wissen)

Kommutativgesetze

(1) A ∧ B ≡ B ∧ A

(1') A ∨ B ≡ B ∨ A

Erläuterung

Vertauschen der Argumente A und 'B, ohne dass sich das Ergebnis der Operation ändert.

Assoziativgesetze

(2) (A ∧ B) ∧ C ≡ A ∧ (B ∧ C)

(2') (A ∨ B) ∨ C ≡ A ∨ (B ∨ C)

Erläuterung

Die Klammerung der oben durchgeführten Operationen hat keinen Einfluss auf das Ergebnis.

Idempotenzgesetze

(3) A ∧ A ≡ A

(3') A ∨ A ≡ A

Erläuterung

Die Eigenschaften des Arguments A bleiben, auch wenn dieses mit sich selbst verknüft wird, bestehen.

Distributivgesetze

(4) A ∧ (B ∨ C) ≡ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)

(4') A ∨ (B ∧ C) ≡ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)

Erläuterung

Auswirkung des Aufösens von Klammern um Verknüfungen von Operationen: ähnlich dem "Ausmultiplizieren" in der Schulmathematik.

Neutralitätsgesetze

(5) A ∧ true ≡ A

(5') A ∨ false ≡ A

Erläuterung

Der Wert des Argument A wird durch die oben ausgeführten Operationen nicht verändert.

Extremalgesetze

(6) A ∧ false ≡ false

(6') A ∨ true ≡ true

Erläuterung

Das Ergebnis der oben beschriebenen Operationen ist unabhängig vom Wert des Arguments A.

Doppelnegationsgesetz

(7) ¬(¬A) ≡ A

Erläuterung

"Doppelte Verneinung": der Wert von A wird durch zweimaliges Ausführen des ¬ -Operators nicht beeinflusst.

De Morgansche Gesetze

(8) ¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B

(8') ¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B

Ein Beispiel zur Anwendung aus dem Alltag

Peter trinkt Tee nur mit Zirtonensaft und Zucker. Dann stimmen die Aussagen: "Wenn Zitronensaft und Zucker im Tee sind, wird Peter ihn trinken " und "Sind weder Zitronensaft noch Zucker im Tee, so trinkt Peter ihn nicht" überein.

Komplementärgesetze

(9) A ∧ ¬A ≡ false

(9') A ∨ ¬A ≡ true

Erläuterung und Beispiel

Es können nicht gleichzeitig A und die Negation von A gelten: Beispielsweise kann der Himmel nicht gleichzeitig blau und nicht-blau sein. Allerdings ist der Himmel entweder blau oder nicht-blau gefärbt. Dieses Beispiel illustriert das Gesetz (9').

Dualitätsgesetze

(10) ¬false ≡ true

(10') ¬true ≡ false

Erläuterung

Der Wert true ist das Komplement zu false. Ist eine Aussage nicht-wahr, so ist sie falsch. Umgekehrt gilt für eine nicht-falsche Aussage, dass sie wahr sein muss.