Rekursion

Als rekursiv wird ein Programm oder Algorithmus bezeichnet, das/der sich selbst direkt oder indirekt aufruft.

Rekursionen und Schleifen sind semantisch äquivalent und können daher durch durch das jeweils andere ersetzt werden. Dies ist jedoch nicht immer sinnvoll.

Rekursion kommt vom lateinischen Wort recurrere, was zurücklaufen bedeutet.

Erstes Beispiel für eine Rekursion

Fakultät von n

Eingabe: Eine natürliche Zahl n
Ausgabe: Die Fakultät von n
Vorgehensweise:
   Wenn n gleich 0,
   dann gib 1 zurück,
   ansonsten gib das Produkt von n und dem Algorithmus mit der Eingabe n-1 zurück.

Beispiel

Die Fakultät einer Zahl wird wie folgt notiert: x!

4! = 4 * 3! = 4 * 3 * 2! = 4 * 3 * 2 * 1! = 4 * 3 * 2 * 1 * 0! = 4 * 3 * 2 * 1 * 1 = 4 * 3 * 2 * 1 = 4 * 3 * 2 = 4 * 6 = 24

Ausführung des Beispiels mit n = 3

Aufbau der Rekursion ("Hinweg")

Ebene: n = 3
Ausführung: n ist ungleich 0, berechne daher das Produkt von 3 und (3-1)!
Aufruf: Fakultät(2)

  Ebene: n = 2
  Ausführung: n ist ungleich 0, berechne daher das Produkt von 2 und (2-1)!
  Aufruf: Fakultät(1)

    Ebene: n = 1
    Ausführung: n ist ungleich 0, berechne daher das Produkt von 1 und (1-1)!
    Aufruf: Fakultät(0)

      Ebene: n = 0
      Ausführung: n ist nun gleich 0, gib also 1 zurück
    
Abbau der Rekursion ("Rückweg")
    
      Rückgabe: Fakultät(0) = 1
    
    Ebene: n = 1
    Rückgabe: 1 * 1 = 1
  
  Ebene: n = 2
  Rückgabe: 2 * 1 = 2

Ebene: n = 3
Rückgabe: 3 * 2 = 6

Aufbau einer Rekursion

Jede Rekursion besteht aus einer Abbruch-/Terminierungsbedingung und einem Rekursionsrumpf.

Der Rekursionsabbruch erfolgt, wenn die Terminierungsbedingung erfüllt ist. Diese Bedingung überprüft, ob die unterste Ebene des Rekursionsbaums erreicht wurde. Im obigen Beispiel ist dies die Überprüfung, ob n gleich 0 ist, da 0! gleich 1 ist. Sollte diese Bedingung nicht erfüllt werden, wird der Rekursionsrumpf ausgeführt. Wichtig für eine funktionierende Rekursion ist, dass die Bedingung irgendwann erreicht wird, da ansonsten die Rekursion nicht terminiert (Endlosrekursion).

Im Rekursionsrumpf geschieht der Aufruf der Funktion für eine niedrigere Ebene und die Berechnung des Ergebnisses der aktuellen Ebene mit diesem. In dem Beispiel ist dies der Ansonsten-Pfad.

Zweites Beispiel

Ist die Zahl n grade?

1. Funktion
Eingabe: Eine natürliche Zahl n
Ausgabe: Ja, wenn n gerade ist, Nein, wenn n ungerade ist.
Vorgehensweise:
     Wenn n gleich 0 ist, dann gebe Ja zurück,
     ansonsten gebe das Ergebnis der 2. Funktion für n-1 zurück.

2. Funktion
Eingabe: Eine natürliche Zahl n
Ausgabe: Ja, wenn n ungerade ist, Nein, wenn n gerade ist. 
Vorgehensweise:
     Wenn n gleich 0 ist, dann gebe Nein zurück,
     ansonsten gebe das Ergebnis der 1. Funktion mit n-1 zurück.

Ausführung des zweiten Beispiels mit n = 5

Aufbau der Rekursion ("Hinweg")

1. Funktion wird mit n = 5 aufgerufen
n ist ungleich 0, daher führe 2. Funktion mit n = 4 aus
  
  2. Funktion mit n = 4
  n ist ungleich 0, daher führe 1. Funktion mit n = 3 aus

    1. Funktion mit n = 3
    n ist ungleich 0, daher führe 2. Funktion mit n = 2 aus

      2. Funktion mit n = 2
      n ist ungleich 0, daher führe 1. Funktion mit n = 1 aus
        
        1. Funktion mit n = 1
        n ist ungleich 0, daher führe 2. Funktion mit n = 0 aus
       
          2. Funktion mit n = 0
          n ist gleich 0, daher
          Rückgabe: Nein

Abbau der Rekursion ("Rückweg")

          1. Funktion mit n = 1
          Rückgabe: Nein

        2. Funktion mit n = 2
        Rückgabe: Nein
  
      1. Funktion mit n = 3
      Rückgabe: Nein

   2. Funktion mit n = 4
   Rückgabe: Nein

1. Funktion mit n = 5
Rückgabe: Nein

=> 5 ist ungrade

Direkte und indirekte Rekursion

Bei der direkten Rekursion wird die Rekursion direkt aufgerufen, indem bei der Rückgabe die Funktion sich selbst wieder aufruft. Dies trifft auf Beispiel 1 zu.

Bei der indirekten Rekursion wird die Rekursion indirekt aufgerufen, indem diese Funktion f eine andere Funktion g aufruft, die wiederum f aufruft.