Boolesche Algebra

Die boolesche Algebra ist eine algebraische Struktur und beschreibt die Operationen UND, ODER und NICHT, welche auf logischen Aussagen angewendet werden können.

Die booleschen Operatoren

Konjunktion (AND)

Die Konjunktion ist eine der grundlegenden logischen Verknüpfungen der Aussagenlogik. Die Konjunktion zweier Aussagen A und B ist genau dann wahr, wenn A und B (sowohl als auch) wahr sind. Das mathematische Symbol ist ∧. In Java wird das AND durch && repräsentiert.

A	B	A ∧ B
false	false	false
false	true	false
true	false	false
true	true	true

Disjunktion (OR)

Die Disjunktion ist eine der grundlegenden logischen Verknüpfungen der Aussagenlogik. Die Disjunktion zweier Aussagen A und B ist genau dann wahr, wenn mindestens eine der Aussagen A oder B wahr ist. Das mathematische Symbol ist ∨. In Java wird das OR durch || repräsentiert.

A	B	A ∨ B
false	false	false
false	true	true
true	false	true
true	true	true

Venn-Diagramm?

Negation (NOT)

Die Negation ist eine wichtige Operation in der Aussagenlogik. Die Negation einer Aussage A führt zur ihrer Verneinung, d.h. aus einer wahren Aussage wird eine falsche Aussage und umgekehrt. Das mathematische Symbol ist ¬. In Java wird das NOT durch ! repräsentiert.

A	¬A
false	true
true	false

Kontravalenz (XOR)

Die Kontravalenz ist eine erweiterte logische Verknüpfung in der Aussagenlogik. Die Kontravalenz zweier Aussagen A und B ist genau dann wahr, wenn entweder A oder B, aber nicht beide wahr sind. Das mathematische Symbol ist ⊕. In Java wird das XOR durch ^ repräsentiert.

A	B	A ⊕ B
false	false	false
false	true	true
true	false	true
true	true	false

Venn-Diagramm?

Implikation

Die Implikation ist eine erweiterte logische Verknüpfung in der Aussagenlogik. Die Implikation zweier Aussagen A und B ist genau dann wahr, wenn A falsch oder B wahr ist. Das mathematische Symbol ist ⇒. Die Implikation ist [semantisch äquivalent] zu ¬A ∨ B. In Java gibt es keinen Implikationsoperator. Eine Implikation wird im Deutschen meistens durch "wenn A, dann B" ausgedrückt.

A	B	A ⇒ B
false	false	true
false	true	true
true	false	false
true	true	true

Venn-Diagramm?

Äquivalenz (XNOR)

Die Äquivalenz ist eine erweiterte logische Verknüpfung in der Aussagenlogik. Die Äquivalenz zweier Aussagen A und B ist genau dann wahr, wenn A und B wahr oder A und B falsch sind. Das mathematische Symbol ist ⇔. Die Äquivalenz ist [semantisch äquivalent] zu A ∧ B ∨ ¬A ∧ ¬B. In Java gibt es keinen Operator hierfür. Die Äquivalenz wird im Deutschen meistens durch "genau dann A, wenn B" ausgedrückt.

A	B	A ⇔ B
false	false	true
false	true	false
true	false	false
true	true	true

Venn-Diagramm?

Peano-Axiome (erweitertes Wissen)

Kommutativgesetze

(1) A ∧ B ≡ B ∧ A

(1') A ∨ B ≡ B ∨ A

Assoziativgesetze

(2) (A ∧ B) ∧ C ≡ A ∧ (B ∧ C)

(2') (A ∨ B) ∨ C ≡ A ∨ (B ∨ C)

Idempotenzgesetze

(3) A ∧ A ≡ A

(3') A ∨ A ≡ A

Distributivgesetze

(4) A ∧ (B ∨ C) ≡ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)

(4') A ∨ (B ∧ C) ≡ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)

Neutralitätsgesetze

(5) A ∧ true ≡ A

(5') A ∨ false ≡ A

Extremalgesetze

(6) A ∧ false ≡ false

(6') A ∨ true ≡ true

Doppelnegationsgesetz

(7) ¬¬A ≡ A

De Morgansche Gesetze

(8) ¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B

(8') ¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B

Komplementärgesetze

(9) A ∧ ¬A ≡ false

(9') A ∨ ¬A ≡ true

Dualitätsgesetze

(10) ¬0 ≡ 1

(10') ¬1 ≡ 0