Boolesche Algebra

Die boolesche Algebra ist eine algebraische Struktur und beschreibt die Operationen UND, ODER und NICHT, die auf logische Aussagen angewendet werden können.

Die booleschen Operatoren

Konjunktion (AND)

Die Konjunktion ist eine der grundlegenden logischen Verknüpfungen der Aussagenlogik. Die Konjunktion zweier Aussagen A und B ist genau dann wahr, wenn A und B (sowohl als auch) wahr sind. Das mathematische Symbol ist ∧. In Java wird das AND durch && repräsentiert.

A	B	A ∧ B
false	false	false
false	true	false
true	false	false
true	true	true

Disjunktion (OR)

Die Disjunktion ist eine der grundlegenden logischen Verknüpfungen der Aussagenlogik. Die Disjunktion zweier Aussagen A und B ist genau dann wahr, wenn mindestens eine der Aussagen A oder B wahr ist. Das mathematische Symbol ist ∨. In Java wird das OR durch || repräsentiert.

A	B	A ∨ B
false	false	false
false	true	true
true	false	true
true	true	true

Venn-Diagramm?

Negation (NOT)

Die Negation ist eine wichtige Operation in der Aussagenlogik. Die Negation einer Aussage A führt zur ihrer Verneinung. Das heißt aus einer wahren Aussage wird eine falsche Aussage und umgekehrt. Das mathematische Symbol ist ¬. In Java wird das NOT durch ! repräsentiert.

A	¬A
false	true
true	false

Kontravalenz (XOR)

Die Kontravalenz ist eine erweiterte logische Verknüpfung in der Aussagenlogik. Die Kontravalenz zweier Aussagen A und B ist genau dann wahr, wenn entweder A oder B, aber nicht beide wahr sind. Das mathematische Symbol ist ⊕. In Java wird das XOR durch ^ repräsentiert.

A	B	A ⊕ B
false	false	false
false	true	true
true	false	true
true	true	false

Venn-Diagramm?

Implikation

Die Implikation ist eine erweiterte logische Verknüpfung in der Aussagenlogik. Die Implikation zweier Aussagen A und B ist genau dann wahr, wenn A falsch oder B wahr ist. Das mathematische Symbol ist ⇒. Die Implikation ist semantisch äquivalent zu ¬A ∨ B. In Java gibt es keinen Implikationsoperator.

Eine Implikation wird im Deutschen meistens durch "wenn A, dann B" ausgedrückt. Es handelt sich hierbei um eine einfache Folgerung. Aus einer falschen Ausgangsaussage A lässt sich alles folgern, daher kann die Gesamtaussage nicht falsch werden.

A	B	A ⇒ B
false	false	true
false	true	true
true	false	false
true	true	true

Venn-Diagramm?

Äquivalenz (XNOR)

Die Äquivalenz ist eine erweiterte logische Verknüpfung in der Aussagenlogik. Die Äquivalenz zweier Aussagen A und B ist genau dann wahr, wenn A und B wahr oder A und B falsch sind. Das mathematische Symbol ist ⇔. Die Äquivalenz ist semantisch äquivalent zu A ∧ B ∨ ¬A ∧ ¬B. In Java gibt es keinen Operator hierfür.

Die Äquivalenz wird im Deutschen meistens durch "genau dann A, wenn B" ausgedrückt. "Genau" heißt immer und nur unter dieser Bedingung. A gilt genau dann, wenn B gilt. A und B sind äquivalent, also austauschbar. Das heißt die vorherige Aussage gilt auch anders herum: B gilt genau dann, wenn A gilt.

A	B	A ⇔ B
false	false	true
false	true	false
true	false	false
true	true	true

Venn-Diagramm?

Peano-Axiome (erweitertes Wissen)

Kommutativgesetze

(1) A ∧ B ≡ B ∧ A

(1') A ∨ B ≡ B ∨ A

Erläuterung

Vertauschen der Argumente A und B, ohne dass sich das Ergebnis der Operation ändert.

Assoziativgesetze

(2) (A ∧ B) ∧ C ≡ A ∧ (B ∧ C)

(2') (A ∨ B) ∨ C ≡ A ∨ (B ∨ C)

Die Reihenfolge der durchgeführten Operationen hat keinen Einfluss auf das Ergebnis.

Idempotenzgesetze

(3) A ∧ A ≡ A

(3') A ∨ A ≡ A

Die Eigenschaften des Arguments A bleiben, auch wenn dieses mit sich selbst verknüft wird, bestehen.

Distributivgesetze

(4) A ∧ (B ∨ C) ≡ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)

(4') A ∨ (B ∧ C) ≡ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)

Auswirkung des Aufösens von Klammern um Verknüfungen von Operationen: ähnlich dem "Ausmultiplizieren" in der Schulmathematik.

Neutralitätsgesetze

(5) A ∧ true ≡ A

(5') A ∨ false ≡ A

Extremalgesetze

(6) A ∧ false ≡ false

(6') A ∨ true ≡ true

Doppelnegationsgesetz

(7) ¬¬A ≡ A

De Morgansche Gesetze

(8) ¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B

(8') ¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B

Komplementärgesetze

(9) A ∧ ¬A ≡ false

(9') A ∨ ¬A ≡ true

Dualitätsgesetze

(10) ¬0 ≡ 1

(10') ¬1 ≡ 0